Universidad Externado

Integración por partes



Debido a que no todos los productos resultan ser integrables por sustitución, pues no todos provienen de una regla de la cadena, es necesario adquirir una nueva herramienta que permita integrar funciones que provengan de derivadas de productos.

¿En qué consiste?

Cuando se desea integrar un porducto de funciones, para el cual el método de sustitución no funciona, es necesario emplear otra herramienta, para ello recordemos la derivada del producto de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ respecto a $x$

$$D_x[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$f(x)g'(x)=D_x[f(x)g(x)]-f'(x)g(x)$$

Al integrar cada miembro de la ecuación obtenemos:

$$\int f(x)g'(x)dx=\int D_x[f(x)g(x)]dx-\int f'(x)g(x)dx$$$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$

Para propósitos de simplificar el cálculo empleemos la siguiente sustitución:

$u=f(x)$ ...... $dv=g'(x)dx$

Por tanto:

$du=f(x)dx$ ...... $v=\int g'(x)dx=g(x)$

De este modo obtenemos:

la fórmula de Integración por partes:

$$\int udv=uv-\int vdu$$

En el método de integración por partes es indispensable elegir de manera adecuada la función que hace el papel de $u$ y cual hace el papel de $dv$, ya que la primera se deberá derivar mientras que la segunda deberá integrarse.

Para tal fin existe una pequeña guía, la cual nos ayuda a elegir la función que debe tomar el papel de $u$, para tal fin, debemos observar el tipo de funciones que tenemos involucradas en la integral:

L: Logarítmicas

A: Algebraicas

E: Exponencial

así tomaremos como $u$ la función del primer tipo que aparezca de izquierda a derecha de las letras $LAE$ $$u\rightarrow LAE.$$

Ejemplo:

Halle la siguiente integral $$\int xe^x dx$$

Solución:

Si la función que se pretende integrar es la función $$\int xe^x dx$$ claramente se tienen funciones Algebraicas ($x$) y Exponenciales ($e^x$), motivo por el cual al función $u$ será $x$ y $dv$ será $e^x$.

Procedemos ahora a calcular $du$ y $v$, es decir, a derivar a la función $x$ y a integrar a la función $e^x$, de modo que

$$\left. \begin{array}{ccc} u=x & & dv=e^xdx \\ du=dx& & v=e^x \end{array} \right.$$

por lo tanto $$\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx$$ la interal que hace falta se resuelve de manera directa, obteniendo finalmente que:

$$\int xe^x dx=xe^x-e^x+C$$

Nota:

La constante de integración se escribe únicamente cuando se han calculado todas las integrales que se deban calcular.

Ejemplo:

Halle $$\int xln(x)dx$$

Solución:

En esta integral en la cual se debe integrar el producto de una función Algebraica con una Logarítmica, se tiene que

$$\left. \begin{array}{ccc} u=ln(x) & & dv=xdx \\ du=\frac{1}{x}dx & & v=\frac{x^2}{2} \end{array} \right.$$

así

$$\int xln(x)dx=\frac{x^2}{2}ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}ln(x)-\int \frac{x}{2} dx=\frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4}+C$$

Ejemplo:

Clacule la siguiente integral $$\int x^5e^{2x^2}dx$$

Solución:

Como se puede observar la función que haría el papel de $dv$ es imposible de integrar ($e^{2x^2}$), pero si se observa con detenimiento es posible realizar una sustitución $t=2x^2$ obteniendo que $$\int x^5e^{2x^2}dx=\int xx^2x^2e^{2x^2}dx=\int \frac{t}{2}\frac{t}{2}e^t\frac{1}{4}dt=\frac{1}{16}\int t^2e^t dt$$ de modo que al aplicar partes se obtiene que:

$$\left. \begin{array}{ccc} u=t^2 & & dv=e^tdt \\ du=2tdt & & v=e^t \end{array} \right.$$
$$\frac{1}{16}\int t^2e^t dt=t^2e^t-\int 2te^tdt$$

por lo que se deben aplicar partes nuevamente, obteniendo que $$\frac{1}{16}\int t^2e^t dt=\frac{1}{16}\left(t^2e^t-\int 2te^tdt \right) =\frac{1}{16}\left(t^2e^t-2te^t+2e^t\right) +C$$ deshaciendo la sustitución se tiene que:

$$\int x^5e^{2x^2}dx=\frac{1}{16}\left(4x^4e^{2x^2}-4x^2e^{2x^2}+2e^{2x^2}\right)+C $$

Problema:

Una fabrica actualmente puede producir hasta 200 artículos mensualmente. De acuerdo con el análisis de la información de los datos contables y registros financieros, se pudo establecer que, el costo aproximado de producir una unidad adicional cada mes (es decir, el costo marginal) del producto está dado por:

$$C′(x) = 200xe^{-x/10}+100$$

donde $x$ representa la cantidad de artículos producidos cada mes. Además se ha establecido que, los costos fijos mensuales oscilan los $\$1000$US. Los directivos de la fabrica desean analizar si un aumento de la producción a 300 unidades mensuales genera beneficios para la fabrica.

Solución:

En este caso es conveniente determinar la función de costo de este producto en particular. El cálculo de la integral nos permite hallar tal función:

$$C(x)=\int C′(x)dx = \int (200xe^{-x/10}+100)dx$$$$ = \int 200xe^{-x/10}dx+\int100dx$$

así $$C(x)=-2000xe^{-x/10}-20000e^{-x/10}+100x+K$$

No debemos olvidar que la situación inicial nos indica que los costos fijos de la fabrica corresponden a $\$1000$US. Es decir, la condición inicial es: $$C(0)=1000$$

Así pues,

$$C(0)=1000$$$$-2000(0)e^{-0/10}-20000e^{-0/10}+100(0)+K=1000$$$$-20000+K=1000$$$$K=21000$$

De esta manera, la función de costo queda determinada por:

$$C(x)=-2000xe^{-x/10}-20000e^{-x/10}+100x+21000$$

¿Cuánto cuesta producir $300$ unidades?

De este modo, el costo de producir $300$ unidades es:

$$C(300)=-2000(300)e^{-300/10}-20000e^{-300/10}+100(300)+21000\approx 51000$$

Es decir:

$$C(300)=51000$$

Por lo tanto, el costo de producir 300 unidades del producto es de $\$51000$US.

EJERCICIOS

  1. Identifique los factores $u$ y $dv$ en las siguientes integrales

a. $\int xe^xdx$

b. $\int x^2e^xdx$

c. $\int xlnxdx$

d. $\int x^2lnxdx$

e. $\int \left(2x+1\right)e^xdx$

  1. Emplee la fórmula de integración por partes para resolver las siguientes integrales (ver numeral 1).

a. $\int xe^xdx$

b. $\int x^2e^xdx$

c. $\int xlnxdx$

d. $\int x^2lnxdx$

e. $\int \left(2x+1\right)e^xdx$

  1. Emplee Python Para resolver las siguientes integrales. Compare los resultados con los que obtuvo en el numeral 2.

a. $\int xe^xdx$

b. $\int x^2e^xdx$

c. $\int xlnxdx$

d. $\int x^2lnxdx$

e. $\int \left(2x+1\right)e^xdx$

  1. Si el costo marginal está dado por: $$\frac{dC}{dx}=\left(x^2-2x+1\right)e^{2-2x}$$

    y los costos fijos son de 10, determine el costo total para producir5 unidades. Suponga que los costos están en miles dólares, y $x$ representa la cantidad de artículos producidos cada mes.

  1. Una fabrica actualmente puede producir hasta 50 artículos mensualmente. De acuerdo con el análisis de la información de los datos contables y registros financieros, se pudo establecer que, el costo aproximado de producir una unidad adicional cada mes (es decir, el costo marginal) del producto está dado por:

    $$C′(x) = 50xe^{-x/2}+1250$$

    donde $x$ representa la cantidad de artículos producidos cada mes. Además se ha establecido que, los costos fijos mensuales oscilan los $\$6000$US. Los directivos de la fabrica desean analizar si un aumento de la producción a 300 unidades mensuales genera beneficios para la fabrica.

Ejercicios adicionales

  1. $\displaystyle \int ln(x) dx$ (ayuda: hay una función logarítmica ($ln(x)$)y una algebraica ($1$)).
  2. $\displaystyle \int x^4ln(x) dx$
  3. $\displaystyle \int e^{\sqrt{x}} dx$ (ayuda: realice primero una sustitución)