Supongamos que la función de ingreso marginal para un producto de cierta compañía viene dada por $$I'(x) = 100.000−2x$$ en donde $x$ es el número de unidades producidas y vendidas. Si se sabe que el ingreso total cuando no se vende ninguna unidad del producto es igual a cero, determinar la función de ingreso total.
De lo que hemos venido trabajando sabemos muy bien que el ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos, por ello la notación como $I'$, de modo que la solución del problema se resume en encontrar una función $I$, que al ser derivada obtengamos la función $I'(x) = 100.000−2x$.
¿Qué función $f(x)$ al ser derivada da como resultado $f'(x)=100.000$ ?
La respuesta a ésta pregunta es muy sencilla ya que la función que serviría es $f(x)=100.000x$.
¿Qué función $g(x)$ al ser derivada da como resultado $g'(x)=2x$ ?
Del trabajo realizado anteriormente es muy fácil determinar que la función $g(x)=x^2$.
Por lo tanto, por las propiedades de la derivada, la candidata a ser la función de ingresos de la empresa es: $I(x)=100.000x-x^2$. Falta ver que cumpla la condición $I(0)=0$, lo cual se tiene ya que $100.000(0)-0^2=0$. De modo que la función de ingresos es la escrita anteriormente.
Nota: Fíjese que el procedimiento que intentó llevarse a cabo fue encontrar una función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$.
Definición Dada una función $f(x)$ diremos que $F(x)$ es una antiderivada de $f$ si $$F'(x)=f(x).$$
Determine una antiderivada de $f(x)=3x-1$
Es muy sencillo verificar que si $F(x)=\frac{3}{2}x^2-x+10$, $F$ es una antiderivada de $f$.
Halle una antiderivada de $f(x)=\frac{1}{x}$.
Una función que podría servir como antiderivada de $f$ sería $F(x)= ln(x)-2$.
Como se puede observar las antiderivadas no son únicas de modo que se hace necesario definir la antiderivada más general de una función $f$ como $$F(x)+c$$ siendo $F$ una antiderivada arbitraria de $f$.
En el ejercicio anterior se puede escribir la antiderivada más general de la función $f(x)=2xe^{x^2}$ como $F(x)=e^{x^2}+c$.
Definición El proceso que hemos visto de encontrar antiderivadas es más bien conocido como integración, y la antiredivada más general se conoce como la integral indefinida de $f$ y se nota: $$\int f(x)dx=F(x)+c.$$
Así como en las derivadas es posible escribir una tabla con las antiderivadas básicas
$$\int kdx=kx+c$$$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c; n\neq-1 $$$$\int e^xdx=e^x+c$$ $$\int \frac{1}{x}dx =ln|x|+c$$
Y las integrales, al igual que las derivadas, respetan la multiplicación por una constante y la suma de funciones, es decir $$\int cf(x) dx= c\int f(x) dx$$ $$\int \left( f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Nota: No existe una fórmula para integrar productos ni tampoco para integrar cocientes de funciones.
Encuentre las intergrales indefinidas de las siguientes funciones:
Dentro de las grandes utilidades qe tiene el paquete sympy, tiene una muy importante a la hora de calcular integrales, la cual se utiliza de una manera muy sencilla.
Una vez definidas las variables, se utiliza el comando integrate(función,variable de integración) y listo!
from sympy import *
init_printing(use_latex=True)
x=symbols("x")
Por ejemplo para calcular la integral del último ejercicio basta escribir:
integrate(10*x**3+1/(4*x)-4*E**x+10,x)
/home/nbuser/anaconda3_501/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/font_manager.py:229: UserWarning: Matplotlib is building the font cache using fc-list. This may take a moment. 'Matplotlib is building the font cache using fc-list. '
Vamos ahora a realizar integrales un poco más difíciles y las compararemos con el resultado que arroja la máquina
Calcule la siguiente integral $$\int\left(\frac{x^2-3x-1}{x}\right)dx$$
Lo primero que debemos realizar es separar la fracción como la suma de tres fraccionarios homogéneos $$\int\left(\frac{x^2-3x-1}{x}\right)dx=\int\left(\frac{x^2}{x}-\frac{3x}{x}-\frac{1}{x}\right)dx$$ Ahora simplificamos obteniendo así que $$\int\left(\frac{x^2}{x}-\frac{3x}{x}-\frac{1}{x}\right)dx=\int\left(x-3-\frac{1}{x}\right)dx=\int xdx-3\int dx-\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}-3x-ln|x|+c$$
integrate((x**2-3*x-1)/(x),x)
Calcule $$\int\left(\frac{x^3-5x+1}{\sqrt[3]{x^2}}-e^2\right)dx$$
Como antes debemos separar las fracciones y simplificar para poder hacer la integral de cada una $$\int\left(\frac{x^3-5x+1}{\sqrt[3]{x^2}}-e^2\right)dx=\int\left(\frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{5x}{\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-e^2\right)dx=\int \left(x^{\frac{7}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}-e^2\right)dx=\frac{3\sqrt[3]{x^{10}}}{10}-\frac{15\sqrt[3]{x^4}}{4}+3\sqrt[3]{x}+e^2x+c$$
integrate((x**3-5*x+1)/(x**(2/3)))
Halle $$\int (2x^2-3)^2dx$$
Debemos recordar que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, por lo tanto $$\int (2x^2-3)^2dx=\int (4x^4-12x^2+9)dx=\frac{4x^5}{5}-4x^3+9x+c$$