Universidad Externado

Método de sustitución



No todas las funciones se pueden integrar de manera directa, en muchas ocasiones en necesario hacer un cambio de variable para ver la verdadera forma de la integral y poderla calcular, es éste método el que aprenderemos a utilizar en el presente cuadreno.

¿Por qué se debe aplicar éste método?

Existen funciones a las cuales no se les puede calcular su integral de manera directa como se había hecho anteriormente para el caso de las funciones $x^n$, $e^x$ y $\frac{1}{x}$. Sin embargo, existen métodos para encontrar la integral de una función cuando esta es no es elemental. El primero que vamos a estudiar es el método de sustitución el cual es el análogo a la regla de la cadena para derivadas.

La regla de la cadena afirma que $\left( F(g(x) \right)' = F'(g(x))g'(x)$, luego si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir si $F'= f$) entonces desde la perspectiva de las integrales se obtiene que $$ \int f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(x)) + C.$$

El método funciona de la siguiente manera. Considere la integral que tiene la forma $\int f(g(x))g'(x) \, dx$, reemplazamos la función $g(x)$ por cualquier otra variable, por ejemplo $u=g(x)$, a continuación encontramos la derivada de $u$ con respecto a $x$ y la denotamos por $du$, por lo que obtenemos la igualdad $du = g'(x) \, dx$, a continuación se sustituye en la integral inicial para obtener $$ \int f(u) \, du. $$Ahora, hallamos la integral de $f$ donde la variable de integración es $u$, digamos por ejemplo que la integral es la función $F(u) + C$. Una vez calculada la integral, se reemplaza de nuevo por la sutitución inicial $u = g(x)$, y se obtiene el resultado final $F(g(x)) + C$.

Ejemplo

Calcular la integral $\int (x^3 + 4)^5\cdot 3x^2 \, dx $.

Solución:

En este caso elegimos la sustitución $u = x^3 + 4$, ahora derivamos $u$ con respecto a $x$, para obtener $du = 3x^2 \, dx$. Sustituimos en la integral inicial y se tiene $ \int u^5 \, du$, resolvemos esta integral elemental, $\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C$. Finalmente, sustituimos $u = x^3 + 4$ en el resultado de la integral y concluimos que $$ \int (x^3 + 4)^5\cdot 3x^2 \, dx = \frac{(x^3 + 4)^6}{6} + C.$$

Ejemplo

Encuentre la integral $\displaystyle\int \cfrac{\ln x}{x} \, dx$

Solución:

Primero que todo, observe que la integral se puede escribir como \, $\displaystyle\int \cfrac{\ln x}{x} \, dx = \displaystyle\int \ln x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx$.

Como la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, en este caso elegimos la sustitución $u = \ln x$, entonces $du = \frac{1}{x} \, dx$, sustitumios en la integral inicial y obtenemos $\int u \, du$, esta integral es elemental. Se sigue entonces que $\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$, por lo tanto el resultado final es $$ \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.$$

Ejemplo

Hallar la integral $\int (4x^2 + 40)^6 \cdot x \, dx$.

Solución:

Elegimos la sustitución $u = 4x^2 + 40$, entonces la derivada es $ \, du = 8x \, dx$. En este caso el factor numérico 8 no aparece en la integral. Sin embargo, esto no es un problema y, podemos proceder como sigue. Dividimos en ambos lados de la igualdad $du = 8x \, dx$ por 8 y obtenemos $$ \frac{du}{8} = x \, dx. $$

Luego sustituimos en la integral inicial y se obtiene $$ \int u^6 \cdot \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int u^6 \, dx.$$

Ahora, integramos esta integral elemental $$\frac{1}{8} \int u^6 \, dx = \frac{1}{8} \frac{u^7}{7} + C = \frac{u^7}{56} + C,$$y obtenemos el resultado final $$ \int (4x^2 + 40)^6 \cdot x \, dx = \frac{(4x^2 + 40)^7}{56} + C. $$

Ejemplo

Determine la integral $\int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx$.

Solución:

En este ejemplo debemos elegir la función que aparece en el exponente de la función exponencial como la sustitución, esto es, escojamos como $u = x^2 + 3x$, luego la derivada es $du = (2x + 3) \, dx$. Como $du$ aparece multiplicando en la integral y como la multipliación es una operación conmutativa, encontramos que al reemplazar $u$ en la integral inicial obtenemos $\int e^u \, du$. Esta integral es elemental, más aún, su integral es ella misma, es decir, $\int e^u \, du = e^u + C$. Por lo tanto, la solución final de la integral es $$ \int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx = e^{x^2 + 3x} + C.$$

Ejemplo

Una industria que produce vidrios frontales para autos tiene una función de costo marginal $ C'(x) = 40xe^{0.02x^2},$ donde $x$ es el número de vidrios frontales. Si se sabe que los costos fijos de la empresa son 3.000

Solución:

Para encontrar la función de costos $C(x)$, se debe encontrar la integral de la función de costo marginal $C'(x)$. $$C(x) = \int 40xe^{0.02x^2} \, dx.$$ Esta integral no es elemental y vamos a utilizar el método de sustutución.

Elijamos $u = 0.02x^2$, entonces la derivada es $du = 0.04x \, dx$, entonces $\frac{du}{0.04} = x\, dx$, al sustituir en la integral obtenemos $\int 40e^u \, \frac{du}{0.04}$. Esta integral es elemental y se resuelve de la siguiente manera

$$ \int 40e^u \, \frac{du}{0.04} = \frac{40}{0.04} \int e^u \, du = \frac{40}{0.04} e^u + C_0 = 1000 e^u + C_0,$$

donde $C_0$ denota la constante de integración. Por lo tanto $$ C(x) = \int 40xe^{0.02x^2} \, dx = 1000 e^{0.02x^2} + C_0.$$ Como los costos fijos de la empresa son 3000 dólares, esto significa que $C(0)=3000$,

por lo tanto $$1000e^{0.02(0)^2}+C_0=3000$$ de allí $$C_0=2000$$ de modo que:

$$ C(x) = 1000 e^{0.02x^2} + 2000. $$

Ejercicios

  1. Emplear el método de sutitución para encontrar las siguientes integrales

    1. $\int (4x^3 + 5x^2)^8 \cdot (12x^2 + 10x) \, dx$
    2. $\int \frac{(\ln x)^5}{x} \, dx$
    3. $\int (4x^3+6)e^{x^4+6x} \, dx$
    4. $\int \frac{4x^3 + 3x^2 + 2x}{x^4 + x^3 + x^2} \, dx$
  2. El costo marginal (en dólares) de una empresa que fabrica raquetas de tenis está dado por $C'(x) = \frac{x}{500} \sqrt{x^2 + 3600}$, en donde $x$ es el número de raquetas producidas. Si los costos fijos son de 100 dolares, determine la función de costo total.

  3. Emplear Python para verificar que todas las integrales de los ejemplos y ejercicios sean los mismos resultados obtenidos previamente.