No todas las funciones se pueden integrar de manera directa, en muchas ocasiones en necesario hacer un cambio de variable para ver la verdadera forma de la integral y poderla calcular, es éste método el que aprenderemos a utilizar en el presente cuadreno.
Existen funciones a las cuales no se les puede calcular su integral de manera directa como se había hecho anteriormente para el caso de las funciones $x^n$, $e^x$ y $\frac{1}{x}$. Sin embargo, existen métodos para encontrar la integral de una función cuando esta es no es elemental. El primero que vamos a estudiar es el método de sustitución el cual es el análogo a la regla de la cadena para derivadas.
La regla de la cadena afirma que $\left( F(g(x) \right)' = F'(g(x))g'(x)$, luego si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir si $F'= f$) entonces desde la perspectiva de las integrales se obtiene que $$ \int f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(x)) + C.$$
El método funciona de la siguiente manera. Considere la integral que tiene la forma $\int f(g(x))g'(x) \, dx$, reemplazamos la función $g(x)$ por cualquier otra variable, por ejemplo $u=g(x)$, a continuación encontramos la derivada de $u$ con respecto a $x$ y la denotamos por $du$, por lo que obtenemos la igualdad $du = g'(x) \, dx$, a continuación se sustituye en la integral inicial para obtener $$ \int f(u) \, du. $$Ahora, hallamos la integral de $f$ donde la variable de integración es $u$, digamos por ejemplo que la integral es la función $F(u) + C$. Una vez calculada la integral, se reemplaza de nuevo por la sutitución inicial $u = g(x)$, y se obtiene el resultado final $F(g(x)) + C$.
Calcular la integral $\int (x^3 + 4)^5\cdot 3x^2 \, dx $.
En este caso elegimos la sustitución $u = x^3 + 4$, ahora derivamos $u$ con respecto a $x$, para obtener $du = 3x^2 \, dx$. Sustituimos en la integral inicial y se tiene $ \int u^5 \, du$, resolvemos esta integral elemental, $\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C$. Finalmente, sustituimos $u = x^3 + 4$ en el resultado de la integral y concluimos que $$ \int (x^3 + 4)^5\cdot 3x^2 \, dx = \frac{(x^3 + 4)^6}{6} + C.$$
Encuentre la integral $\displaystyle\int \cfrac{\ln x}{x} \, dx$
Primero que todo, observe que la integral se puede escribir como \, $\displaystyle\int \cfrac{\ln x}{x} \, dx = \displaystyle\int \ln x \cdot \cfrac{1}{x} \, dx$.
Como la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, en este caso elegimos la sustitución $u = \ln x$, entonces $du = \frac{1}{x} \, dx$, sustitumios en la integral inicial y obtenemos $\int u \, du$, esta integral es elemental. Se sigue entonces que $\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$, por lo tanto el resultado final es $$ \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.$$
Hallar la integral $\int (4x^2 + 40)^6 \cdot x \, dx$.
Elegimos la sustitución $u = 4x^2 + 40$, entonces la derivada es $ \, du = 8x \, dx$. En este caso el factor numérico 8 no aparece en la integral. Sin embargo, esto no es un problema y, podemos proceder como sigue. Dividimos en ambos lados de la igualdad $du = 8x \, dx$ por 8 y obtenemos $$ \frac{du}{8} = x \, dx. $$
Luego sustituimos en la integral inicial y se obtiene $$ \int u^6 \cdot \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int u^6 \, dx.$$
Ahora, integramos esta integral elemental $$\frac{1}{8} \int u^6 \, dx = \frac{1}{8} \frac{u^7}{7} + C = \frac{u^7}{56} + C,$$y obtenemos el resultado final $$ \int (4x^2 + 40)^6 \cdot x \, dx = \frac{(4x^2 + 40)^7}{56} + C. $$
Determine la integral $\int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx$.
En este ejemplo debemos elegir la función que aparece en el exponente de la función exponencial como la sustitución, esto es, escojamos como $u = x^2 + 3x$, luego la derivada es $du = (2x + 3) \, dx$. Como $du$ aparece multiplicando en la integral y como la multipliación es una operación conmutativa, encontramos que al reemplazar $u$ en la integral inicial obtenemos $\int e^u \, du$. Esta integral es elemental, más aún, su integral es ella misma, es decir, $\int e^u \, du = e^u + C$. Por lo tanto, la solución final de la integral es $$ \int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx = e^{x^2 + 3x} + C.$$
Una industria que produce vidrios frontales para autos tiene una función de costo marginal $ C'(x) = 40xe^{0.02x^2},$ donde $x$ es el número de vidrios frontales. Si se sabe que los costos fijos de la empresa son 3.000
Para encontrar la función de costos $C(x)$, se debe encontrar la integral de la función de costo marginal $C'(x)$. $$C(x) = \int 40xe^{0.02x^2} \, dx.$$ Esta integral no es elemental y vamos a utilizar el método de sustutución.
Elijamos $u = 0.02x^2$, entonces la derivada es $du = 0.04x \, dx$, entonces $\frac{du}{0.04} = x\, dx$, al sustituir en la integral obtenemos $\int 40e^u \, \frac{du}{0.04}$. Esta integral es elemental y se resuelve de la siguiente manera
$$ \int 40e^u \, \frac{du}{0.04} = \frac{40}{0.04} \int e^u \, du = \frac{40}{0.04} e^u + C_0 = 1000 e^u + C_0,$$donde $C_0$ denota la constante de integración. Por lo tanto $$ C(x) = \int 40xe^{0.02x^2} \, dx = 1000 e^{0.02x^2} + C_0.$$ Como los costos fijos de la empresa son 3000 dólares, esto significa que $C(0)=3000$,
por lo tanto $$1000e^{0.02(0)^2}+C_0=3000$$ de allí $$C_0=2000$$ de modo que:
$$ C(x) = 1000 e^{0.02x^2} + 2000. $$Emplear el método de sutitución para encontrar las siguientes integrales
El costo marginal (en dólares) de una empresa que fabrica raquetas de tenis está dado por $C'(x) = \frac{x}{500} \sqrt{x^2 + 3600}$, en donde $x$ es el número de raquetas producidas. Si los costos fijos son de 100 dolares, determine la función de costo total.
Emplear Python para verificar que todas las integrales de los ejemplos y ejercicios sean los mismos resultados obtenidos previamente.