No todas las funciones se pueden integrar de manera directa, en muchas ocasiones en necesario hacer un cambio de variable para ver la verdadera forma de la integral y poderla calcular, es éste método el que aprenderemos a utilizar en el presente cuadreno.

¿Por qué se debe aplicar éste método?¶

Existen funciones a las cuales no se les puede calcular su integral de manera directa como se había hecho anteriormente para el caso de las funciones $x^n$ , $e^x$ y $\frac{1}{x}$ . Sin embargo, existen métodos para encontrar la integral de una función cuando esta es no es elemental. El primero que vamos a estudiar es el método de sustitución el cual es el análogo a la regla de la cadena para derivadas.

La regla de la cadena afirma que $\left( F(g(x) \right)' = F'(g(x))g'(x)$ , luego si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir si $F'= f$ ) entonces desde la perspectiva de las integrales se obtiene que

$\int f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(x)) + C.$

El método funciona de la siguiente manera. Considere la integral que tiene la forma $\int f(g(x))g'(x) \, dx$ , reemplazamos la función $g(x)$ por cualquier otra variable, por ejemplo $u=g(x)$ , a continuación encontramos la derivada de $u$ con respecto a $x$ y la denotamos por $du$ , por lo que obtenemos la igualdad $du = g'(x) \, dx$ , a continuación se sustituye en la integral inicial para obtener

$\int f(u) \, du.$ Ahora, hallamos la integral de

$f$ donde la variable de integración es

$u$ , digamos por ejemplo que la integral es la función

$F(u) + C$ . Una vez calculada la integral, se reemplaza de nuevo por la sutitución inicial

$u = g(x)$ , y se obtiene el resultado final

$F(g(x)) + C$ .

Ejemplo¶

Calcular la integral $\int (x^3 + 4)^5\cdot 3x^2 \, dx$ .

Ejemplo¶

Encuentre la integral $\displaystyle\int \cfrac{\ln x}{x} \, dx$

Ejemplo¶

Hallar la integral $\int (4x^2 + 40)^6 \cdot x \, dx$ .

Ejemplo¶

Determine la integral $\int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx$ .

Solución:¶

En este ejemplo debemos elegir la función que aparece en el exponente de la función exponencial como la sustitución, esto es, escojamos como $u = x^2 + 3x$ , luego la derivada es $du = (2x + 3) \, dx$ . Como $du$ aparece multiplicando en la integral y como la multipliación es una operación conmutativa, encontramos que al reemplazar $u$ en la integral inicial obtenemos $\int e^u \, du$ . Esta integral es elemental, más aún, su integral es ella misma, es decir, $\int e^u \, du = e^u + C$ . Por lo tanto, la solución final de la integral es $\int (2x+3)e^{x^2 + 3x} \, dx = e^{x^2 + 3x} + C.$

Ejemplo¶

Una industria que produce vidrios frontales para autos tiene una función de costo marginal $C'(x) = 40xe^{0.02x^2},$ donde $x$ es el número de vidrios frontales. Si se sabe que los costos fijos de la empresa son 3.000

Elijamos $u = 0.02x^2$ , entonces la derivada es $du = 0.04x \, dx$ , entonces $\frac{du}{0.04} = x\, dx$ , al sustituir en la integral obtenemos $\int 40e^u \, \frac{du}{0.04}$ . Esta integral es elemental y se resuelve de la siguiente manera

$\int 40e^u \, \frac{du}{0.04} = \frac{40}{0.04} \int e^u \, du = \frac{40}{0.04} e^u + C_0 = 1000 e^u + C_0,$

donde $C_0$ denota la constante de integración. Por lo tanto $C(x) = \int 40xe^{0.02x^2} \, dx = 1000 e^{0.02x^2} + C_0.$ Como los costos fijos de la empresa son 3000 dólares, esto significa que $C(0)=3000$ ,

Ejercicios¶

Emplear el método de sutitución para encontrar las siguientes integrales
1. $\int (4x^3 + 5x^2)^8 \cdot (12x^2 + 10x) \, dx$
2. $\int \frac{(\ln x)^5}{x} \, dx$
3. $\int (4x^3+6)e^{x^4+6x} \, dx$
4. $\int \frac{4x^3 + 3x^2 + 2x}{x^4 + x^3 + x^2} \, dx$
El costo marginal (en dólares) de una empresa que fabrica raquetas de tenis está dado por $C'(x) = \frac{x}{500} \sqrt{x^2 + 3600}$ , en donde $x$ es el número de raquetas producidas. Si los costos fijos son de 100 dolares, determine la función de costo total.
Emplear Python para verificar que todas las integrales de los ejemplos y ejercicios sean los mismos resultados obtenidos previamente.